Этапы урока

Формируемые УУД

Деятельность учителя

Деятельность обучающихся

Организация начала занятия

личностные: мобилизация внимания, уважение к окружающим;

коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем, сверстниками;

регулятивные: саморегуляция

Включение детей в деятельность

Учитель:  - Здравствуйте, ребята! Я очень рада вас видеть! Настраивайтесь на активную работу! Сегодня мы повторим предыдущую тему «Решение квадратных неравенств», вспомним алгоритм решения,  а так же рассмотрим понятие «метод интервалов», «равносильные неравенства» и научимся решать квадратные неравенства с одной переменной, используя метод интервалов.

/слайд №1/

Итак, тема  нашего сегодняшнего урока: «Решение неравенств методом интервалов». Я прошу вас записать её в тетрадь, при этом не забудьте поставить сегодняшнее число на полях.

Включение в работу, самоопределение

Мотивация к учебной деятельности

коммуникативные УУД: определение целей функций участников, способов взаимодействия, инициативное сотрудничество в сборе и обработке информации, владение монологической и диалогической формой речи;

 личностные:

самоопределение, установление связи  между целю учения и  ее его мотивом, проявлять интерес к изучению темы.

регулятивные:

целеполагание

Учитель: - Говоря о неравенствах, вспомните знаки, которые вы используете для их обозначения еще с начальной школы.

Совершенно верно: больше, меньше или равно. С их помощью мы составляем как строгие, так и нестрогие неравенства. Но в данный момент меня интересуют понятия «больше»/ «меньше».

- Скажите, пожалуйста, как вы думаете, после любого урока у вас становится знаний больше или меньше?

/ребята отвечают/

- А после этого урока, на котором вам еще только предстоит узнать нечто новое?

/ребята отвечают/

/слайд №3/

- Да, и тут вы совершенно правы! Поэтому здесь и сейчас я приведу вам слова знаменитого чешского педагога – основоположника педагогики – Я.А.Коменского:                             «Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего и ничего не прибавил к своему образованию».

Вопросы:

- Что имел ввиду знаменитый педагог?

- Почему если не узнал ничего нового – это несчастье?

– Что значит «прибавил к своему образованию»?

/обсуждение с учащимися/

 Поэтому, я вам желаю, чтобы несчастных дней в вашей жизни не было, чтобы вы каждый день узнавали много нового и интересного, и это помогло бы вам сформировать собственную картину миру и систему знаний и ценностей.

Обучающиеся делают вывод о том, что знаний у них от урока к уроку становится больше и постоянно добавлять к уже имеющимся новые, включать их в свою собственную систему знаний, умений и навыков, поскольку именно она лежит в основе собственной картины миры и системы мировоззрений и ценностей. Образованный человек – постоянно учится, развивается.

Коллективное обсуждение

Актуализация знаний и фиксация затруднений в деятельности

познавательные:

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий, извлечение необходимой информации  и ее использование, постановка и формулирование проблемы.

коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем, сверстниками, умение с достаточной полнотой выражать мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

Регулятивные: целеполагание, самоконтроль знаний

/слайд №4/

- Прежде, чем переходить к изучению нового материала, проверим насколько вы усвоили предыдущую тему.

1. Совершенствование навыков решения квадратных неравенств по изученному алгоритму,  изображение и запись числовых промежутков (задания – на слайдах, фронтальная работа с классом)

Учитель: - Обратите внимание на экран – вы можете видеть условие задач. Прочитайте задание.

/предлагает всем прочитать условие задания, затем проводит фронтальный опрос/

Задание №1. Найдите множество решений неравенства:

а) х² + 2х -3 < 0

б) 2х² - 5х + 2 ≥ 0

в) x² − 4x + 4 > 0.

Вопросы:

- Вспомните, алгоритм решения квадратного неравенства.

- Сначала представляем в виде чего? (функции)

- Затем решаем, как что? (квадратное уравнение) Зачем? Что нужно найти?

- Следом что делаем? (рисуем координатную прямую и изображаем множество чисел, удовлетворяющих заданному условию).

Теперь совместно повторим алгоритм решения, разобрав задание под буквой а).

/по итогам вызывает одного учащегося и просит записать всё решение на доске, а остальных – всё записать в тетради/

 /слайд №5/

- Что необходимо сделать?

- Какие числовые промежутки получились в задании?

- Как будем изображать их на координатной прямой?

А сейчас решим самостоятельно два оставшихся неравенства: 1 вариант – под буквой б), второй вариант под буквой в).

/слайд №6/

/учащиеся самостоятельно работают в тетрадях. Учитель ожидает, когда задание будет выполнено и предлагает сверить с верными ответами на экране/

- Пожалуйста, всем внимание на экран! Давайте сверим ваши ответы.

/слайд №7/

/еще раз проговаривает вместе с учащимися алгоритм решения/

Учитель: - А теперь вспомним  понятие: «формулы сокращенного умножения». В частности, формулу «разность квадратов двух выражений».

- Напомните формулировку.

- Давайте запишем эту формулу на вспомогательной доске и решим несколько примеров на применение этой формулы

2. Совершенствование навыков решения алгебраических выражений с использованием формул сокращенного умножения (задания – на слайдах, фронтальная работа с классом)

/слайд №8/

Учитель: - Обратите внимание на экран – вы можете видеть задания. Прочитайте задание.

/предлагает всем прочитать условие задания, затем проводит фронтальный опрос/

Задание №2. Разложите выражение на множители:

а) х² – 16

б) 4у² – 25

в) a² - 64

г) 9с² – 36

Вопросы:

- Вспомните, формулировку формулы «Разность квадратов двух выражений равна…»

- Давайте выполним задание

/по итогам вызывает одного учащегося и просит записать всё решение на доске, а остальных – всё записать в тетради/

Обучающиеся работают индивидуально, а так же участвуют в коллективном обсуждении, уточняя решения.

Работа с учебником – уточнение алгоритма решения, обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой.

Рассуждения учащихся.

Один учащийся работает у доски.

Самостоятельная работа учащихся по решению квадратных неравенств по заданному алгоритму, сверка ответов с правильным решением на доске.

Один учащийся записывает формулы сокращенного умножения на вспомогательной доске.

Один учащийся работает у доски, остальные – в рабочих тетрадях.

Постановка цели деятельности («Открытие» детьми нового знания)

постановка и решение проблемы:   формулирование задач и целей урока;

познавательные: применение методов информационного поиска

коммуникативные:  умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации

регулятивные:  коррекция (внесение необходимых коррективов в план и способ действия)

Учитель: - Выполняя задание №1 – вы изображали на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющих неравенству, – то есть указывали числовой промежуток.

Из изученного ранее вы знаете, что числовой промежуток является решением неравенства.

И в начале урока, говоря о неравенствах, я попросила вас вспомнить знаки, которые вы используете для их обозначения еще с начальной школы. И вы ответили совершенно верно: больше, меньше или равно. С их помощью мы составляем как строгие, так и нестрогие неравенства, которые состоят из левой и правой части, между которыми стоят знаки сравнения.

- Хорошо, а теперь, по аналогии, давайте вместе попробуем понять, как мы будем решать неравенства второй степени или иначе квадратные неравенства новым способом.

- Внимание на экран

/слайд №9/

- Рассмотрим функцию

f(x)=(x+2)(x-3)(x-5)

Вопросы:

- Что является областью определения функции?

- Определите нули функции. Зачем они нужны? (разбивают область определения на промежутки, в которых функция сохраняет свой знак, а при переходе через нули ее знак меняется)

- Какие числовые промежутки получились?

- Определим знаки этой функции в каждом из указанных промежутков

- Составим таблицу, из которой видно, что

·      если хϵ(-∞;-2), то f(x)<0

·      если хϵ(-2;3), то f(x)>0

·      если хϵ(3;5), то f(x)<0

·      если хϵ(5;+∞), то f(x)>0

Мы видим, что в каждом из промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через нули функции =-2, 3 и 5 ее знак изменяется.

/слайд №10/

- Вообще пусть функция задана формулой

f(x)= (x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n),

где х – переменная,

а х₁, х₂, …, х_n – нули функции.

/слайд №11/

В каждом из промежутков, на которые о.о.ф. разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется при решении неравенств вида:

(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n)>0    (1)

(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n)

где х₁, х₂, …, х_n – неравные друг другу числа.

/слайд №12/

- Давайте для примера решим неравенство (х+6)(х+1)(х-4)<0

/слайд №13/

Обратимся к учебнику – стр.89. Данное неравенство является неравенством вида (1), так как в левой части записано произведение (x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n), где х₁=-6, х₂=-1 и х₃=4. Для его решения удобно воспользоваться рассмотренным выше свойством чередования знаков функции. Отметим на координатной прямой нули данной функции.

- Что будем делать дальше?

- Конечно, найдем знаки этой функции на каждом из промежутков (-∞;-6), (-6;-1), (-1;4) и (4;+∞). Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из этих промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках.

- С какого промежутка начнем?

- Удобнее всего начинать с крайнего справа промежутка  (4;+∞), так как в нем значения данной функции заведомо положительны.

- Почему?

- Это объясняется тем, что при значениях х, расположенных правее всех нулей функции, каждый из множителей х+6, х+1 и х-4 положителен.

Используя свойство чередования знаков, определим, двигаясь по координатной прямой справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков.

/слайд №13/

Из рисунка видно, что множеством решения неравенства является объединение промежутков (-∞;-6) и (-1;4).

Следовательно, записываем Ответ: (-∞;-6) ᵁ (-1;4).

- Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Посмотрим на экране приведенные примеры решения неравенств методом интервалов.

/слайд №14/

- В начале урока в самом первом задании мы решали квадратные неравенства по определенному алгоритму. Но их же можно решать методом интервалов. К примеру:

а) х² + 2х -3 < 0

x1 = −3  и  x2 = 1

отсюда

(х+3)(х-1) < 0

и соответствующее решение

б) 2х² - 5х + 2 ≥ 0

х1=0,5  и х2=2

отсюда

(х-0,5)(х-2) ≥ 0

и соответствующее решение

и даже

в) x² − 4x + 4 > 0

можно разложить

(х-2)(х-2) > 0

То есть, в случае квадратных неравенств мы не видели особой разницы между методом интервалов и графическим способом решения: и то, и другое, было весьма просто.

Далее мы будем рассматривать неравенства, которые удобнее всего решать именно методом интервалов.

/слайд №15/

- Рассмотрим пример №2

Внимание на экран. Прочитайте задание

«Решите неравенство вида

х+1 / х-3≤0

Действуем также, как и в предыдущем примере. Еще раз подробно опишем все шаги.

Числитель обращается в нуль в точке х=-1, знаменатель обращается в нуль в точке х=3. Эти две точки разбивают ось ОХ три интервала.

- Каких?

(дети отвечают)

- Да, действительно.

Точка  -1 закрашена: неравенство нестрогое, и следовательно, числителю разрешается быть равным нулю (иными словами: точка -1 является решением неравенства).

Точка 3 выколота: на нуль делить нельзя, и поэтому х=3 не является решением неравенства (при х=3 левая часть неравенства не определена).

Теперь идем по оси ОХ справа налево.

- Если х>3, то каковы будут оба выражения (х-3)(х+1)?

(положительны)

- Какой общий знак?

(плюс)

- Перейдем в интервал -1<x

- Какой общий знак?

(минус)

- На интервале х

- Каков общий знак?

(плюс)

/слайд №15/

Знак неравенства: «меньше или равно». Следовательно, решения неравенства расположены там, где стоит знак «минус».

- Скажите, какой числовой промежуток мы должны записать в ответ?

(Ответ: [-1;3).)

Таким образом, метод интервалов реализует свойство чередования знаков, при котором, двигаясь по координатной прямой справа налево, знаки данной функции изменяются в каждом из полученных промежутков при переходе через нуль функции.

Толкование термина «метод интервалов», «чередование знаков функции», поиск цели урока, формулирование темы.

Рассуждения учащихся.

Работа с учебником – разбор примера решения квадратного неравенства с одной переменной методом интервалов

Составляют в тетради таблицу, определяют знаки функции в числовых промежутках

Работа с учебником - сверка правильной формулировки чередования знаков функции при переходе через нуль на каждом из числовых промежутков.

Ознакомление с общим видом квадратных неравенств, которые решаются методом интервалов.

Предположения, самостоятельная работа с учебником, коллективное обсуждение.

Работа в тетради, построение координатной прямой, на которой отмечены нули функции.

Проверка знаков функции на каждом из числовых промежутков. Решение неравенства.

Коллективное обсуждение, сравнительный анализ метода интервалов и графического метода.

Работа в тетради, построение координатной прямой, на которой отмечены нули функции.

Проверка знаков функции на каждом из числовых промежутков. Решение неравенства.

Обучающиеся делают вывод о том, что свойство чередования знаков функции при переходе из интервала в интервал через нуль функции используется в методе интервалов, который применяется при решении неравенств вида

(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n)>0   

(x-x₁)(x-x₂) … (x-x_n)

Первичное закрепление

познавательные: структурирование знаний,

выбор наиболее эффективных способов решения задач,

логические: анализ объектов  с  целью выделения признаков,

регулятивные: саморегуляция, 

контроль (сличение знаний с эталоном)

1. Рассмотрение примеров решения неравенств с одной переменной, с использованием метода интервалов (совместно с учителем):

- А сейчас для закрепления полученных знаний разберем совместно со мной несколько заданий из учебника.

Задание № 325(а,б) . (просит учащихся прочитать задание, проводит фронтальный опрос)

- Что нам известно?

- Что является решением неравенства?

- Как будем изображать множество решений неравенства на координатной прямой?

- Какой метод будем использовать?

- В чем он заключается?

/по итогам вызывает одного учащегося на каждый пример и просит записать всё решение на доске, а остальных – всё записать в тетради/

Разберем еще один пример.

Задание № 335(а,б). (просит учащихся прочитать задание, проводит фронтальный опрос

/вызывает одного учащегося и просит записать всё решение на доске, а остальных – всё записать в тетради/

Работа с учебником.

Рассуждения учащихся, предположения, коллективное обсуждение.

Один ученик работает у доски. 

Остальные - работают в тетради.

Один ученик работает у доски.

Рассуждения учащихся, обсуждение.

Работа в тетради.

Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

регулятивные: составление плана действий, саморегуляция;

познавательные: поиск и выделение важной информации, применение алгоритма, пошаговое выполнение задачи

регулятивные:  оценка результатов работы.

коммуникативные: управление поведением партнера

- Сегодня на уроке мы научились решать неравенства с одной переменной методом интервалов. Рассмотрели свойство чередования знаков функции. Выяснили, что в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

- И сейчас вам предлагается небольшая самостоятельная работа. Вашему вниманию представлено два варианта, каждый решает свой. Работаем самостоятельно с последующей самопроверкой. (Важно подчеркнуть, что за данный тест оценки в журнал выставлены не будут, что обеспечит практически полную самостоятельность учащихся при выполнении задания)

Внимание на экран. 

/слайд №17, 18,19/

Самостоятельная работа обучающихся, самоконтроль.

Включение в систему знаний и повторение

познавательные: контроль и оценка процесса и результатов деятельности, подведение итогов,

логические: выведение следствий,

коммуникативные:

владение монологической формой речи, умение полно и чётко выражать свои мысли 

- Подводя итоги занятия, постараемся включить новые знания в систему уже имеющихся. Для этого ответим на ряд вопросов. (Учитель проводит фронтальный опрос, уточняя и уделяя значительное внимание понятию решения неравенства)

- Что называется решением неравенства с одной переменной?

- Какое свойство положено в основу метода интервалов?

- Каким образом определить знак в числовом промежутке?

- Можно ли решать квадратные неравенства методом интервалов?

- А неравенства другой степени?

Возвращение к цели урока, ее формулировка, ответы на вопросы.

Рефлексия деятельности

личностные: самоопределение,

регулятивные:  саморегуляция, осознание качества и уровня усвоения знаний;

коммуникативные: умение слушать, принятие решения и его реализация.

Выразите ваши впечатления от урока. Продолжите предложения:

Я  узнал…

Мне понравилось…

Я открыл для себя…

Мне было интересно…

Восстановление учебной мотивации.

Задание на дом

коммуникативные: инициатива в выборе задачи, поиск и сбор информации;

логические: анализ истинности утверждений,

регулятивные: оценка результатов работы

п.15 учебника,

№ 326, 336 (а,б), 389(а,б), 393(а,б)

Стр.93 контрольные вопросы №1,2

Учащиеся записывают домашнее задание в дневник.