Суханова Ксения Владимировна, учитель математики, МБОУ «Гимназия №54» г. Набережные Челны, Республика Татарстан. 
В статье акцентируется внимание на том, что одной из ключевых целей преподавателя математики является обучение учеников навыку решения математических задач. Это связано с тем, что знания, полученные учеником в школе, в будущем становятся основой для решения жизненных задач, включая развитие науки, техники и других отраслей. Мы проанализировали множество комбинаторных задач и пришли к выводу, что их решение возможно только после тщательного обсуждения и применения основных формул.

Методические аспекты решения задач с элементами комбинаторики и их положение в повышении активности учащихся

Одной из задач школьного обучения математики является развитие навыков решения задач. Для повышения познавательной активности учащихся, развития их мышления и творческих способностей помогают решения элементарных задач комбинаторики. Задачи комбинаторики и их применение в повседневной деятельности определяют их значимость и взаимосвязь. Решение этих задач позволяет эффективно выполнять различные действия в повседневной жизни. Например, конструктору изобретая новую модель механизма, агроному при планировании выращивания зерновых культур на нескольких сельскохозяйственных полях, химику при изучении органические молекулы, у которых есть проблемы с атомным составом, необходимо использовать математику. Если учитель активизирует учеников в процессе обучения, в результате он направляет их в независимость, более глубокое и сильное усвоение знаний и т. д.

Ученики обнаруживают, что знания, полученные ими в школе во время учебы, служат фундаментом и важным инструментом для решения жизненных, технических, производственных, образовательных и научных вопросов в будущем. В процессе преподавания элементам комбинаторики много времени уделяется как раз-таки решению задач, связанных именно с практическим содержанием. На наш взгляд, ученики при решении таких задач опираются на определенные правила, законы, где испытывают сложности с пониманием теорем, определений или формул. Устранение таких недостатков при решении задач, связанных с использованием элементов комбинаторики, заключается в освоении определений и формул, поскольку большинство задач, связанных с элементами комбинаторики, являются жизненными или взятыми из повседневной деятельности.

На практике часто возникает необходимость выделить из множества объектов подмножество элементов с тем или иным свойством, разместить элементы одного или нескольких множеств в определенном порядке и т.п. Например, мастер определяет, какой рабочий что делает, агроном решает, на какой площади посадить ту или иную сельскохозяйственную культуру и так далее.

Поскольку такие задачи говорят о том или ином способе комбинации (соединения) объектов, их называют комбинаторными задачами. Раздел математики, занимающийся комбинаторными задачами, называется комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств, то есть любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отражении.

Способы решения комбинаторных задач различны. Одной из основных задач является нахождение хотя бы одного расположения предметов, обладающего заданными свойствами (например, найти способ расположить десять точек на пяти фигурах так, чтобы на каждой фигуре было по четыре точки; расположить восемь фигур на шахматной доске таким образом, чтобы они не мешали друг другу). В некоторых случаях, после доказательства выясняется, что данная комбинаторная задача не имеет решения (например, 10 ящиков нельзя расположить в 9 ящиках так, чтобы в каждом ящике было не более одного ящика, хотя бы не менее двух в каждом ящике, если есть крыша) [1,130].

Если комбинаторная задача имеет множество решений, то возникает задача подсчета числа решений и объяснения всех решений данной задачи. Кроме того, часто бывает так, что различные решения одной и той же комбинаторной задачи имеют различия по некоторым характеристикам. В таком случае возникает вопрос нахождения оптимального (наиболее выгодного) решения данной задачи [4,106].

Например, предположим, что турист хочет покинуть город А, поехать в города B, С и D, а затем вернуться в город А. На рисунке 1 показана схема дорог, соединяющих эти города. Различные варианты путешествия различаются порядком следования в города B, C и D, всего их шесть. Те же шесть вариантов и длина каждого из этих путей показаны в Таблице 1:

Таблица 1 – Варианты дорог и их длины

Из этой таблицы видно, что дороги АСDВА и АВDСА являются самыми короткими и отличаются друг от друга направлением движения.

Это подтверждает тот факт, что мастер, агроном и другие специалисты, заинтересованные в максимальной эффективности, постоянно сталкиваются с комбинаторной задачей оптимизации. Они ищут наилучший способ выполнения задачи с использованием заданного количества ресурсов, стремясь достичь максимальной производительности. [2,56].

Количество элементов в множестве A обозначается как n(A), и множество, состоящее из m элементов, определяется как m-элементное множество.

Например, A={a, b, c, d, e, f} – множество и n(A) = 6.

Рассмотрим следующую комбинаторную задачу.

Сколько элементов включает комбинация из множества A и множества B, где k – количество элементов из множества A, а m – количество элементов из множества B?

Эта задача решается только в том случае, если множества A и B не пересекаются друг с другом, то есть в случае, когда A B состоит из k+m элементов (например, если A={a, b, c, d}, B={e, f, g}, тогда:

А ∪ B={a, b, c, d, e, f , g} имеет 4+3=7 элементов.

Например, если на тарелке 8 яблок и 6 груш, то один из фруктов можно выбрать с числом 6+8=14.

Если пересечение множеств A и B ненулевое, то решение усложняется. Например, комбинация множеств A={a,b,c,d,e} и B={d,e,f,g} не состоит из 5+4=9 элементов, но состоит из семи элементов: А ∪ В = {a, b, c, d, e, f , g}.

Число элементов объединения двух последних множеств равно сумме числа элементов каждого из них, уменьшенной на количество элементов пересечения этих множеств.

Например, если учитывать, что на прогулке было 16 людей, которые ели бутерброды с мясом, 24 человек предпочли бутерброды с колбасой, 15 людей выбрали бутерброды с сыром, 11 участников прогулки заказали бутерброд с мясом и колбасой, 9 – бутерброд с мясом и сыром, 12 – бутерброд с колбасой и сыром, 6 участников прогулки выбрали все три вида бутерброда и 5 участников прогулки не стали заказывать бутерброды, а предпочли пельмени, то какое общее количество человек участвовало в этой прогулке?

Буквой А обозначим совокупность участников, получивших бутерброд с мясом, буквой Б – получивших бутерброд с колбасой, буквой С – совокупность людей, получивших бутерброд с сыром. Тогда условие задачи можно записать так:

n(A)=16, n(B)= 24, n(C)=15, n(А В) = 11, n(А С) = 8, n(B С) = 12, n(D)=5

Буквой D отмечен набор участников, которые ели только пельмени. Находим количество участников одного или нескольких видов бутербродов, т.е. n(А В С ). По формуле получаем:

n(А∪В∪С )=n(А)+n(В)+n(C)–n(A В )-n(A С )-n(B С )+n(А В С )= =16+24+15-11-8-12+6=30

То есть бутерброды получили только 30 участников, а в прогулке приняли участие всего 30+5=35 человек [3, 30].

Например, сколько комбинаций из четырёх букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что 2 соседние буквы будут разными? В этой задаче первую букву задачи можно выбрать 33 способами. После ее выбора следующую букву можно выбрать только 32 способами (выбранную букву нельзя повторить). Третья буква из письма, не может быть как вторая, но первая буква может повторяться, поэтому ее тоже можно выбрать 32 способами. Четвертую букву также можно выбрать 32 способами. Таким образом, общее количество методов выбора выглядит следующим образом:

33*32*32*32 = 1081344 [2, 65].

Таким образом, повышение активности учащихся в процессе решения задач по элементам комбинаторики реализуется путем целенаправленного использования теорем, определений, формул, которые:

1. Повышают интерес учащихся к решению задач по элементам комбинаторики;

2. Развивают последовательный процесс своего мышления при решении проблемы;

3. Формируют логическое мышление учащихся;

4. Развивают идею размещения или перемещения элементов.

Литература:

1. Виленкин, Н. Я. Алгебра и математический анализ. 11 класс : учеб. для углубл. изучения математики в общеобразоват. учреждениях / Н. Я. Виленкин, О. С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. – Москва : Мнемозина, 2014. – 287, ISBN 5-346-00477-7.

2. Виленкин, Н.Я. Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. / Н. Я. Виленкин, – Москва: Просвещение, 1976. – 96 с.

3. Виленкин Н. Я. Комбинаторика. / Н. Я. Виленкин, – Москва: Наука, 1969. – 328 с.

4. Методика преподавания математики в средней школе. В 2-х частях в составе Черкасов и др. – Москва: Просвещение, 1977. – 405 с.